Raisonnement par l'absurde

Méthode

On veut établir qu'une proposition \(P\) est vraie.
Effectuer un raisonnement par l'absurde, c'est supposer que \(P\) est fausse et aboutir à une contradiction.

Exemple

Soit \(P\) : « \(\sqrt 2\) est un nombre irrationnel. »
En utilisant un raisonnement par l'absurde, on cherche à démontrer (non \(P\)) : « \(\sqrt2\)  est rationnel. »
On suppose que ce nombre est rationnel, c'est-à-dire qu'il existe deux entiers naturels non nuls \(a\) et \(b\), premiers entre eux, tels que \(\sqrt 2 = \dfrac ab\).
On a, en multipliant de chaque côté par \(b\), \(a = b\sqrt 2\), puis en élevant au carré les deux membres \(a^2 = 2b^2\).
\(a^2\) implique que \(a\) est pair. (Pour la démonstration de ce résultat, voir la perle « Raisonnement par contraposée ».)
Donc il existe un entier naturel \(k\) tel que \(a=2k\) et donc \(a^2=4k^2\).
Ainsi \(a^2=2b^2\) se réécrit \(4k^2=2b^2\), c'est à dire \(2k^2=b^2\). Donc \(b^2\) est pair. On en déduit que \(b\) est pair.
\(a\) et \(b\) sont tous les deux pairs. Ils sont donc divisibles par \(2\).
On aboutit à une contradiction puisque \(a\) et \(b\) sont supposés n'avoir aucun diviseur commun autre que \(1\).
Conclusion : \(\sqrt 2\)  est un nombre irrationnel.

Méthode

Pour démontrer l'implication \(P\Rightarrow Q\) en raisonnant par l'absurde, on suppose que \(P\) est vraie et que \(Q\) est fausse afin d'aboutir à une contradiction.
Cela entraîne que \(Q\) est vraie. En effet, \(P\) vraie et \(Q\) fausse est le seul cas où l'implication \(P\Rightarrow Q\) est fausse (voir la perle sur les implications). On aura donc démontré que \(P\) vraie implique \(Q\) vraie, c'est-à-dire que \(P\Rightarrow Q\) est vraie.

Exemple

Soit \(x\) et \(y\) deux réels.
On cherche à démontrer par un raisonnement par l'absurde l'implication suivante : « Si \(x^2+y^2=0\), alors \(x=y=0\). »

Supposons donc que \(x^2+y^2=0\) et (\(x\neq 0\) ou \(y\neq 0\)).
Supposons que \(x\neq0\) (comme \(x\) et \(y\) jouent des rôles symétriques, on peut faire ce choix).
Alors \(x^2+y^2\) étant une somme de deux quantités positives, dont l'une est non nulle, on en déduit \(x^2+y^2>0\) en contradiction avec l'hypothèse \(x^2+y^2=0\).
De même si \(y\ne0\).
Ainsi, on a démontré par l'absurde que : « Si \(x^2+y^2=0\), alors \(x=y=0\). »